有限数学示例

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2} - 65$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 ${(x + 4)}^{2}$ 。

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} = - 65$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $65$ 。

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2

化简 $x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} + 65$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$x^{2} + (x + 2) (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2.1.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

解题步骤 2.1.4

将 ${(x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x + 4) (x + 4)$ 。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - ((x + 4) (x + 4)) + 65 = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 4)$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

运用分配律。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + 65 = 0$

解题步骤 2.1.5.2

运用分配律。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + 65 = 0$

解题步骤 2.1.5.3

运用分配律。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

解题步骤 2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

解题步骤 2.1.6.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

解题步骤 2.1.6.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + 65 = 0$

解题步骤 2.1.6.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 8 x + 16) + 65 = 0$

解题步骤 2.1.7

运用分配律。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - (8 x) - 1 \cdot 16 + 65 = 0$

解题步骤 2.1.8

化简。

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解题步骤 2.1.8.1

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 1 \cdot 16 + 65 = 0$

解题步骤 2.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 + 65 = 0$

解题步骤 2.2

合并 $x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 + 65$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} + 4 x + 4 + 0 - 8 x - 16 + 65 = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $x^{2} + 4 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 16 + 65 = 0$

解题步骤 2.3

从 $4 x$ 中减去 $8 x$ 。

$x^{2} - 4 x + 4 - 16 + 65 = 0$

解题步骤 2.4

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x^{2} - 4 x - 12 + 65 = 0$

解题步骤 2.5

将 $- 12$ 和 $65$ 相加。

$x^{2} - 4 x + 53 = 0$

解题步骤 3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = 53$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 53)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $53$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3

从 $16$ 中减去 $212$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4

将 $- 196$ 重写为 $- 1 (196)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (196)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.7

将 $196$ 重写为 $14^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.9

将 $14$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ 。

$x = 2 \pm 7 i$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $53$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3

从 $16$ 中减去 $212$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.4

将 $- 196$ 重写为 $- 1 (196)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (196)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.7

将 $196$ 重写为 $14^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.9

将 $14$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ 。

$x = 2 \pm 7 i$

解题步骤 6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 2 + 7 i$

解题步骤 7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $53$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3

从 $16$ 中减去 $212$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4

将 $- 196$ 重写为 $- 1 (196)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (196)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.7

将 $196$ 重写为 $14^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.9

将 $14$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ 。

$x = 2 \pm 7 i$

解题步骤 7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 2 - 7 i$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + 7 i, 2 - 7 i$

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